<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— убрать из одной из куч (по своему выбору) 2 камня;</p><p>— уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).</p><p>Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (18, 30), (20, 28), (6, 30), (20, 10).</p><p>Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 44. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 44 камней или меньше. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — S камней; S ≥ 29.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в одну из куч (по своему выбору) 3 камня;</p><p>— увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.</p><p>Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (23, 30), (20, 33), (60, 30), (20, 90).</p><p>Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 173. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 173 камня или больше. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 156.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:</p><p>— Петя не может выиграть за один ход;</p><p>— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.</p><p>Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— убрать из кучи 3 камня;</p><p>— убрать из кучи 7 камней;</p><p>— уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).</p><p>Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 13 или 10 камней.</p><p>Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 12. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 12 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S > 12.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:</p><p>— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;</p><p>— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.</p><p>В ответе запишите только число.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— убрать из кучи 2 камня;</p><p>— убрать из кучи 7 камней;</p><p>— уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).</p><p>Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 13 или 6 камней.</p><p>Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 22 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S > 22.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в одну из куч (по своему выбору) 1 камень;</p><p>— увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.</p><p>Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (21, 30), (20, 31), (60, 30), (20, 90).</p><p>Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 178. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 178 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 12 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 165.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— убрать из кучи 1 камень;</p><p>— убрать из кучи 4 камня;</p><p>— уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).</p><p>Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 19, 16 или 6 камней.</p><p>Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 10. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 10 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S > 10.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:</p><p>— Петя не может выиграть за один ход;</p><p>— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.</p><p>Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в кучу 3 камня;</p><p>— добавить в кучу 5 камней;</p><p>— увеличить количество камней в куче в 2 раза.</p><p>Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 23, 25 или 40 камней.</p><p>Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 168. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 168 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 167.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:</p><p>— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;</p><p>— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.</p><p>В ответе запишите только число.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в кучу 2 камня;</p><p>— добавить в кучу 4 камня;</p><p>— увеличить количество камней в куче в 3 раза.</p><p>Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 22, 24 или 60 камней.</p><p>Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 133. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 133 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 132.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в одну из куч (по своему выбору) 1 камень;</p><p>— увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.</p><p>Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (21, 30), (20, 31), (60, 30), (20, 90).</p><p>Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 178. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 178 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 12 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 165.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:</p><p>— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;</p><p>— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.</p><p>В ответе запишите только число.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в одну из куч (по своему выбору) 3 камня;</p><p>— увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.</p><p>Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (23, 30), (20, 33), (60, 30), (20, 90).</p><p>Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 173. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 173 камня или больше. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 156.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— убрать из кучи 3 камня;</p><p>— убрать из кучи 7 камней;</p><p>— уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).</p><p>Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 13 или 10 камней.</p><p>Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 12. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 12 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S > 12.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:</p><p>— Петя не может выиграть за один ход;</p><p>— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.</p><p>Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в кучу 2 камня;</p><p>— добавить в кучу 4 камня;</p><p>— увеличить количество камней в куче в 3 раза.</p><p>Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 22, 24 или 60 камней.</p><p>Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 133. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 133 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 132.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:</p><p>— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;</p><p>— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.</p><p>В ответе запишите только число.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— убрать из одной из куч (по своему выбору) 2 камня;</p><p>— уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).</p><p>Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (18, 30), (20, 28), (6, 30), (20, 10).</p><p>Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 44. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 44 камней или меньше. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — S камней; S ≥ 29.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:</p><p>— Петя не может выиграть за один ход;</p><p>— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.</p><p>Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в одну из куч (по своему выбору) 3 камня;</p><p>— увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.</p><p>Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (23, 30), (20, 33), (60, 30), (20, 90).</p><p>Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 173. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 173 камня или больше. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 156.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:</p><p>— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;</p><p>— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.</p><p>В ответе запишите только число.</p>
<p>Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:</p><p>— добавить в кучу 3 камня;</p><p>— добавить в кучу 7 камней;</p><p>— увеличить количество камней в куче в 3 раза.</p><p>Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 23, 27 или 60 камней.</p><p>Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 168. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 168 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 167.</p><p>Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.</p><p>Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.</p>